Q1
Analyse · Dérivabilité & Rolle
Programme du Concours de Recrutement · Mathématiques Secondaire
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b). Quel théorème fondamental garantit l'existence d'au moins un point c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0 ?
لتكن f دالة متصلة على [a, b] وقابلة للاشتقاق على ]a, b[ بحيث f(a) = f(b). ما هي المبرهنة الأساسية التي تضمن وجود عنصر c على الأقل من ]a, b[ بحيث f'(c) = 0؟
✓ Bonne réponse (B) : Le théorème de Rolle
💡 Explication : Le théorème de Rolle stipule : si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et f(a) = f(b), alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ tel que la dérivée s'annule : f'(c) = 0.
Q2
Algèbre Linéaire · Théorème du Rang
Algèbre Linéaire Universitaire · Concours CRMEF
Soit u une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie n vers un espace F. Quelle est la relation fondamentale donnée par le théorème du rang ?
لتكن u تطبيقاً خطياً من فضاء متجهي E بعده منته n نحو فضاء F. ما هي العلاقة الأساسية المعبرة عن مبرهنة الرتبة (Théorème du rang)؟
✓ Bonne réponse (A) : dim(E) = dim(Ker u) + rg(u)
💡 Explication : Le théorème du rang (ou théorème de la dimension) énonce que pour tout morphisme u: E → F avec dim(E) < ∞, la dimension de l'espace de départ est la somme de la dimension du noyau et du rang : dim(E) = dim(Ker u) + dim(Im u).
Q3
Analyse · Séries Numériques
Analyse Mathématique · Séries Numériques
Pour quelle condition sur le réel α la série de Riemann ∑_{n=1}^∞ (1 / n^α) converge-t-elle ?
ما هو الشرط على العدد الحقيقي α لكي تتقارب متسلسلة ريمان ∑_{n=1}^∞ (1 / n^α)؟
✓ Bonne réponse (B) : α > 1
💡 Explication : D'après le critère de Riemann (par comparaison avec l'intégrale impropre ∫_1^∞ dt/t^α), la série ∑ 1/n^α converge si et seulement si l'exposant α est strictement supérieur à 1 (α > 1).
Q4
Arithmétique · Identité de Bézout
Arithmétique dans Z · 2ème Bac Sciences Maths & CRMEF
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Quelle est la caractérisation nécessaire et suffisante pour que a et b soient premiers entre eux (a ∧ b = 1) selon le théorème de Bézout ?
ليكن a و b عددين صحيحين نسبيين غير منعدمين. ما هو الشرط اللازم والكافي لكي يكون a و b أوليين فيما بينهما حسب مبرهنة بيزو (Bézout)؟
✓ Bonne réponse (A) : Il existe deux entiers relatifs u et v tels que a·u + b·v = 1
💡 Explication : L'identité de Bézout affirme que a et b sont premiers entre eux si et seulement si 1 est combinaison linéaire entière de a et b : ∃ (u, v) ∈ Z² tel que au + bv = 1.
Q5
Algèbre Linéaire · Réduction
Algèbre Bilinéaire & Réduction des Endomorphismes
Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans R. Que stipule le théorème fondamental de Cayley-Hamilton ?
لتكن A مصفوفة مربعة من الرتبة n بمعاملات في R. ماذا تنص عليه مبرهنة كايلي-هاميلتون (Cayley-Hamilton) الأساسية؟
✓ Bonne réponse (A) : Toute matrice carrée annule son propre polynôme caractéristique : χ_A(A) = 0_n
💡 Explication : Le théorème de Cayley-Hamilton établit que si χ_A(X) = det(XI_n - A) est le polynôme caractéristique de A, alors en substituant formellement la matrice A à l'indéterminée X, on obtient la matrice nulle : χ_A(A) = 0.
Q6
Analyse · Théorème des Accroissements Finis
Programme National de Mathématiques · CRMEF & 2ème Bac
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Quelle est l'égalité donnée par le Théorème des Accroissements Finis (TAF) ?
لتكن f دالة عددية متصلة على [a, b] وقابلة للاشتقاق على ]a, b[. ما هي المساواة التي تعبر عن مبرهنة التزايدات المنتهية (TAF)؟
✓ Bonne réponse (A) : Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)·(b - a)
💡 Explication : Le TAF garantit qu'il existe au moins un point c dans ]a, b[ où la pente de la tangente f'(c) est exactement égale à la pente de la sécante reliant (a, f(a)) et (b, f(b)) : f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).
Q7
Arithmétique · Petit Théorème de Fermat
Arithmétique · Concours d'Accès aux CRMEF
Soit p un nombre premier et a un entier relatif non divisible par p. Que donne le Petit Théorème de Fermat ?
ليكن p عدداً أولياً و a عدداً صحيحاً نسبياً لا يقبل القسمة على p. ماذا تعطي مبرهنة فيرما الصغرى (Petit théorème de Fermat)؟
✓ Bonne réponse (A) : a^(p - 1) ≡ 1 [p]
💡 Explication : Le petit théorème de Fermat affirme que pour tout nombre premier p et tout entier a premier avec p, on a a^(p-1) ≡ 1 (mod p), ou de manière équivalente a^p ≡ a (mod p) pour tout a entier.
Q8
Probabilités · Théorème de Bayes
Probabilités & Statistiques · Licence & Concours CRMEF
Soit (A_i)_{i=1}^n un système complet d'événements de probabilités non nulles, et B un événement de probabilité non nulle. Quelle est la formule de Bayes pour P(A_k | B) ?
لتكن (A_i) تجزيئاً لفضاء الاحتمالات بأحداث احتمالاتها غير منعدمة، و B حدثاً احتماله غير منعدم. ما هي صيغة بايز (Formule de Bayes) لحساب الاحتمال البعدي P(A_k | B)؟
✓ Bonne réponse (A) : P(A_k | B) = [P(B | A_k) · P(A_k)] / ∑_{i=1}^n [P(B | A_i) · P(A_i)]
💡 Explication : La formule de Bayes (probabilité des causes) s'écrit P(A_k | B) = P(A_k ∩ B) / P(B) = [P(B | A_k)P(A_k)] / [∑ P(B | A_i)P(A_i)], en développant le dénominateur par la formule des probabilités totales.
Q9
Probabilités · Lois Usuelles
Probabilités Discrètes · CRMEF Secondaire
Quelle est l'espérance mathématique E(X) et la variance V(X) d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n, p) ?
ما هو الأمل الرياضي E(X) والتباين V(X) لمتغير عشوائي X يتبع قانون ذي الحدين B(n, p)؟
✓ Bonne réponse (A) : E(X) = n·p et V(X) = n·p·(1 - p)
💡 Explication : Pour une loi binomiale B(n, p), somme de n variables indépendantes de Bernoulli de paramètre p, l'espérance est E(X) = np et la variance est V(X) = np(1 - p) = npq.
Q10
Algèbre Linéaire · Diagonalisation
Algèbre Linéaire & Réduction · Université & CRMEF
À quelle condition nécessaire et suffisante un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie n est-il diagonalisable ?
ما هو الشرط اللازم والكافي لكي يكون تشاكل داخلي u من فضاء متجهي E بعده منته n قابلاً للتقطير (Diagonalisable)؟
✓ Bonne réponse (A) : Son polynôme caractéristique est scindé sur le corps K et pour chaque valeur propre, la multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre) est égale à sa multiplicité algébrique
💡 Explication : Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de vecteurs propres, ce qui équivaut à un polynôme caractéristique scindé et dim(E_λ) = ordre de multiplicité de λ pour toute valeur propre λ.
Q11
Analyse · Continuité & TVI
Analyse Réelle · 2ème Bac & Concours Enseignement
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Que garantit le corollaire du TVI (théorème de la bijection) si f(a)·f(b) < 0 ?
لتكن f دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال [a, b]. ماذا يضمن الاستلزام الأساسي لمبرهنة القيم الوسيطية إذا كان f(a)·f(b) < 0؟
✓ Bonne réponse (A) : L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle ouvert ]a, b[
💡 Explication : Puisque f est continue et change de signe (f(a)·f(b) < 0), le TVI garantit l'existence d'au moins une racine. La stricte monotonie en assure l'unicité stricte sur ]a, b[.
Q12
Analyse · Intégration
Calcul Intégral · Concours CRMEF Mathématiques
Quelle est la valeur de l'intégrale définie I = ∫_0^1 x·e^x dx calculée par intégration par parties ?
ما هي قيمة التكامل المحدد I = ∫_0^1 x·e^x dx المحسوب بواسطة المكاملة بالأجزاء؟
✓ Bonne réponse (A) : 1
💡 Explication : En posant u(x) = x ⇒ u'(x) = 1 et v'(x) = e^x ⇒ v(x) = e^x, on a I = [x·e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx = (1·e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1.
Q13
Arithmétique · Théorème de Gauss
Arithmétique dans Z · 2ème Bac Sciences Maths
Que stipule le Théorème de Gauss en arithmétique élémentaire ?
ماذا تنص عليه مبرهنة غوص (Théorème de Gauss) في الحسابيات؟
✓ Bonne réponse (A) : Si un entier a divise le produit b·c et si a est premier avec b (a ∧ b = 1), alors a divise c
💡 Explication : Le théorème de Gauss découle de l'identité de Bézout : puisque au + bv = 1, en multipliant par c, on obtient acu + bcv = c. Comme a divise acu et a divise bc, a divise leur somme, donc a divise c.
Q14
Géométrie · Nombres Complexes
Nombres Complexes & Géométrie · 2ème Bac Sciences Maths
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, quelle transformation géométrique est représentée par l'écriture complexe z' - ω = e^(iθ) · (z - ω) ?
في المستوى العقدي، ما هو التحويل الهندسي الممثل بالكتابة العقدية z' - ω = e^(iθ) · (z - ω)؟
✓ Bonne réponse (A) : La rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle de mesure θ
💡 Explication : Une rotation de centre Ω(ω) et d'angle θ multiplie les vecteurs d'affixe (z - ω) par le complexe de module 1 et d'argument θ : e^(iθ). L'écriture est z' - ω = e^(iθ)(z - ω).
Q15
Espaces Euclidiens · Cauchy-Schwarz
Espaces Préhilbertiens & Euclidiens · Licence & Concours
Soit E un espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire ⟨·, ·⟩. Que dit l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour tous vecteurs x et y de E ?
ليكن E فضاء متجهيا إقليديا مزودا بالجداء السلمي ⟨·, ·⟩. ماذا تنص متراجحة كوشي-شفارز (Cauchy-Schwarz) بالنسبة لأي متجهتين x و y من E؟
✓ Bonne réponse (A) : |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖ · ‖y‖, avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires
💡 Explication : L'inégalité fondamentale de Cauchy-Schwarz établit que la valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs est majorée par le produit de leurs normes, le cas d'égalité traduisant la dépendance linéaire des deux vecteurs.
Q16
Analyse · Équations Différentielles
Équations Différentielles · 2ème Bac & CRMEF
Quelle est la forme générale des solutions réelles de l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre y'' + ω² y = 0 (avec ω > 0) ?
ما هو الشكل العام للحلول الحقيقية للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية y'' + ω² y = 0 (حيث ω > 0)؟
✓ Bonne réponse (A) : y(x) = A·cos(ωx) + B·sin(ωx), où (A, B) ∈ R²
💡 Explication : L'équation caractéristique r² + ω² = 0 possède deux racines complexes conjuguées pures r = ±iω. Les solutions réelles sont donc les combinaisons linéaires des fonctions harmoniques cos(ωx) et sin(ωx).
Q17
Structures Algébriques · Théorème de Lagrange
Théorie des Groupes · Algèbre Générale Universitaire
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Que stipule le théorème de Lagrange ?
لتكن G زمرة منتهية و H زمرة جزئية من G. ماذا تنص عليه مبرهنة لاغرانج (Théorème de Lagrange)؟
✓ Bonne réponse (A) : L'ordre du sous-groupe H divise l'ordre du groupe G : |H| divise |G|
💡 Explication : Le théorème de Lagrange pour les groupes finis énonce que le cardinal de tout sous-groupe divise le cardinal du groupe, l'indice [G:H] représentant le nombre de classes à gauche selon H : |G| = [G:H] × |H|.
Q18
Analyse · Suites Numériques
Topologie de R & Analyse Réelle · Licence Mathématiques
Que stipule le Théorème de Bolzano-Weierstrass dans R ?
ماذا تنص عليه مبرهنة بولزانو-فايرشتراس (Bolzano-Weierstrass) في مجموعة الأعداد الحقيقية R؟
✓ Bonne réponse (A) : De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente
💡 Explication : Le théorème de Bolzano-Weierstrass traduit la compacité séquentielle des fermés bornés de R : toute suite à valeurs dans un compact admet au moins une valeur d'adhérence (limite d'une sous-suite).
Q19
Géométrie · Espace & Produit Vectoriel
Géométrie dans l'Espace · Bac Sciences Maths & Concours
Dans l'espace euclidien orienté R³, quelle est la propriété fondamentale du produit vectoriel u ∧ v de deux vecteurs non colinéaires ?
في الفضاء الإقليدي الموجه R³، ما هي الخاصية الهندسية الأساسية للجداء المتجهي u ∧ v لمتجهتين غير مستقيميتين؟
✓ Bonne réponse (A) : Le vecteur u ∧ v est orthogonal à la fois au vecteur u et au vecteur v, et sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé par u et v
💡 Explication : Le produit vectoriel u ∧ v est antisymétrique (u ∧ v = -(v ∧ u)), orthogonal au plan engendré par (u, v), dirigé selon la règle de la main droite, et a pour norme ‖u‖·‖v‖·|sin(u, v)|, qui est l'aire du parallélogramme.
Q20
Statistiques & Probabilités · TCL
Probabilités Continues & Statistique Inférentielle · CRMEF
Que stipule le Théorème Central Limite (TCL) pour une suite (X_n) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'espérance μ et de variance σ² > 0 ?
ماذا تنص مبرهنة النهاية المركزية (TCL) لمتتالية (X_n) من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع بأمل μ وتباين σ² > 0؟
✓ Bonne réponse (A) : La variable centrée réduite √n · (X̄_n - μ) / σ converge en loi vers la loi normale centrée réduite N(0, 1)
💡 Explication : Le TCL est le théorème fondamental de la statistique inférentielle : quelle que soit la loi mère (discrète ou continue), la moyenne standardisée tend en distribution vers une loi de Gauss N(0, 1).
Q21
Analyse · Règle de d'Alembert
Séries Numériques · Analyse Universitaire
Soit ∑ u_n une série numérique à termes strictement positifs telle que lim (u_{n+1} / u_n) = L. Que peut-on conclure si L < 1 ?
لتكن ∑ u_n متسلسلة عددية حدودها موجبة قطعا بحيث lim (u_{n+1} / u_n) = L. ماذا يمكن استنتاجه إذا كان L < 1 حسب معيار دالمبير؟
✓ Bonne réponse (A) : La série ∑ u_n est absolument convergente
💡 Explication : La règle de d'Alembert énonce : si L < 1, la série converge (par comparaison avec une suite géométrique de raison q ∈ ]L, 1[) ; si L > 1, elle diverge ; si L = 1, la règle ne permet pas de conclure.
Q22
Analyse · Séries Alternées
Analyse Réelle · CRMEF & Prépas
Que stipule le critère spécial des séries alternées (règle de Leibniz) pour la série ∑ (-1)^n · a_n où a_n > 0 ?
ماذا ينص معيار لايبنتز (Règle de Leibniz) للمتسلسلات المتناوبة ∑ (-1)^n · a_n حيث a_n > 0؟
✓ Bonne réponse (A) : Si la suite (a_n) est décroissante et converge vers 0, alors la série alternée converge et la valeur absolue du reste d'ordre n est majorée par a_{n+1}
💡 Explication : Le théorème de Leibniz affirme que si (a_n) décroît vers 0, la série alternée converge, ses sommes partielles d'ordres pairs et impairs sont adjacentes, et le reste vérifie |R_n| ≤ a_{n+1}.
Q23
Algèbre Linéaire · Formule de Grassmann
Algèbre Linéaire Fondamentale · CRMEF
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de dimension finie. Quelle est la formule de Grassmann ?
ليكن F و G فضاءين متجهيين جزئيين من فضاء E بعده منته. ما هي صيغة غراسمان (Formule de Grassmann)؟
✓ Bonne réponse (A) : dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G)
💡 Explication : La formule de Grassmann relie la dimension de la somme et de l'intersection : dim(F + G) = dim F + dim G - dim(F ∩ G). En particulier, la somme est directe (F ⊕ G) si et seulement si dim(F ⊕ G) = dim F + dim G.
Q24
Arithmétique · Restes Chinois
Arithmétique Avancée · CPGE & CRMEF
Soient m et n deux entiers naturels supérieurs à 1 et premiers entre eux (m ∧ n = 1). Que garantit le théorème des restes chinois pour tout couple (a, b) d'entiers ?
ليكن m و n عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما (m ∧ n = 1). ماذا يضمن مبرهنة البواقي الصينية (Théorème des restes chinois) لأي زوج (a, b)؟
✓ Bonne réponse (A) : Il existe un entier x unique modulo m·n tel que x ≡ a [m] et x ≡ b [n]
💡 Explication : Le théorème des restes chinois établit l'isomorphisme d'anneaux Z/(mn)Z ≃ Z/mZ × Z/nZ lorsque m et n sont premiers entre eux, garantissant l'existence et l'unicité modulo mn d'une solution au système.
Q25
Polynômes · Théorème de d'Alembert-Gauss
Polynômes & Algèbre Générale · CRMEF
Que stipule le Théorème fondamental de l'algèbre (Théorème de d'Alembert-Gauss) pour les polynômes à coefficients complexes ?
ماذا تنص المبرهنة الأساسية في الجبر (مبرهنة دالمبير-غوص) بالنسبة للحدوديات ذات المعاملات العقدية C[X]؟
✓ Bonne réponse (A) : Tout polynôme non constant à coefficients dans C est scindé sur C (admet au moins une racine dans C et exactement deg(P) racines comptées avec leurs multiplicités)
💡 Explication : Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos : tout polynôme P de degré n ≥ 1 possède exactement n racines complexes comptées avec leur ordre de multiplicité.
Q26
Analyse · Formule de Taylor-Young
Développements Limités & Analyse Locale · CRMEF
Soit f une fonction n fois dérivable en un point x_0. Quelle est la formule de Taylor-Young au voisinage de x_0 ?
لتكن f دالة قابلة للاشتقاق n مرة عند النقطة x_0. ما هي صيغة تايلور-يونغ (Taylor-Young) بجوار x_0؟
✓ Bonne réponse (A) : f(x) = ∑_{k=0}^n [f^(k)(x_0) / k!] · (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)
💡 Explication : La formule de Taylor-Young fournit le développement limité d'ordre n d'une fonction de classe C^n au voisinage d'un point, avec un reste négligeable sous la forme de Landau o((x - x_0)^n).
Q27
Géométrie · Barycentres
Géométrie Affine · 1ère & 2ème Bac Sciences Maths
Soit G le barycentre du système pondéré {(A, a), (B, b), (C, c)} avec a + b + c ≠ 0. Quelle égalité vectorielle fondamentale caractérise le point G pour tout point M de l'espace ?
ليكن G مرجح النقط المتزنة {(A, a), (B, b), (C, c)} مع a + b + c ≠ 0. ما هي المتساوية المتجهية الأساسية التي تميز G بالنسبة لأي نقطة M من الفضاء؟
✓ Bonne réponse (A) : a·vect(MA) + b·vect(MB) + c·vect(MC) = (a + b + c)·vect(MG)
💡 Explication : La propriété caractéristique du barycentre s'écrit pour tout point M : ∑ a_i·vect(MA_i) = (∑ a_i)·vect(MG). En particulier pour M = G, on retrouve a·vect(GA) + b·vect(GB) + c·vect(GC) = vect(0).
Q28
Probabilités · Loi de Poisson
Probabilités Discrètes · Licence & CRMEF
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0 (P(λ)). Pour tout entier k ≥ 0, quelle est l'expression de P(X = k) ?
لتكن X متغيراً عشوائياً يتبع قانون بواسون بوسيط λ > 0 (P(λ)). لأي عدد صحيح طبيعي k، ما هي قيمة الاحتمال P(X = k)؟
✓ Bonne réponse (A) : P(X = k) = e^(-λ) · (λ^k / k!)
💡 Explication : La loi de Poisson P(λ), modélisant les événements rares indépendants, associe à chaque entier k le terme de la série exponentielle : P(X = k) = e^(-λ)·λ^k / k!, avec E(X) = V(X) = λ.
Q29
Probabilités · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Probabilités · Loi Faible des Grands Nombres
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) = m et de variance V(X) = σ². Que stipule l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour tout ε > 0 ?
ليكن X متغيرا عشوائيا بأمل رياضي m وتباين σ². ماذا تنص متراجحة بيانيمي-تشيبيشيف (Bienaymé-Tchebychev) لأي ε > 0؟
✓ Bonne réponse (A) : P(|X - m| ≥ ε) ≤ V(X) / ε²
💡 Explication : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité que X s'écarte de son espérance d'au moins ε par le quotient de sa variance par ε² : P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ V(X) / ε².
Q30
Algèbre · Matrices Orthogonales
Géométrie Euclidienne & Espaces Préhilbertiens
À quelle condition nécessaire et suffisante une matrice carrée M ∈ M_n(R) est-elle une matrice orthogonale (M ∈ O(n)) ?
ما هو الشرط اللازم والكافي لكي تكون مصفوفة مربعة M من الرتبة n مصفوفة متعامدة (Matrice orthogonale M ∈ O(n))؟
✓ Bonne réponse (A) : ^tM · M = I_n (la transposée de M est égale à son inverse)
💡 Explication : Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormée de R^n pour le produit scalaire usuel, ce qui se traduit matriciellement par ^tM × M = I_n, impliquant que det(M) = ±1.
Q31
Analyse · Suites Adjacentes
Suites Réelles · Analyse 2ème Bac & CRMEF
Deux suites réelles (u_n) et (v_n) sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante et :
يقال عن متتاليتين حقيقيتين (u_n) و (v_n) أنهما متحاديتان (Suites adjacentes) إذا كانت إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية و :
✓ Bonne réponse (A) : lim_{n→∞} (v_n - u_n) = 0
💡 Explication : Le théorème des suites adjacentes garantit que si (u_n) croît, (v_n) décroît et v_n - u_n tend vers 0, alors pour tout n on a u_n ≤ v_n, et les deux suites convergent vers une même limite finie commune l.
Q32
Analyse · Continuité Uniforme
Topologie des Espaces Métriques · Licence & CRMEF
Que stipule le Théorème de Heine pour les fonctions définies sur un intervalle fermé borné [a, b] ?
ماذا تنص مبرهنة هاينه (Théorème de Heine) بالنسبة للدوال العددية المعرفة على مجال مغلق ومحدود [a, b]؟
✓ Bonne réponse (A) : Toute fonction continue sur un segment [a, b] est uniformément continue sur ce segment
💡 Explication : Le théorème de Heine est une propriété topologique fondamentale : la continuité d'une fonction sur un compact (fermé borné de R) implique sa continuité uniforme (le choix de η ne dépend que de ε et non du point x).
Q33
Arithmétique · Groupe des Inversibles Z/nZ
Arithmétique & Algèbre Générale · CRMEF
Quel est le cardinal du groupe des éléments inversibles de l'anneau (Z/nZ, +, ×) noté (Z/nZ)* ?
ما هو رئيسي زمرة العناصر القابلة للقلب في الحلقة (Z/nZ, +, ×) المعبر عنها بـ (Z/nZ)*؟
✓ Bonne réponse (A) : φ(n), où φ est l'indicatrice d'Euler (le nombre d'entiers k ∈ {1, ..., n} premiers avec n)
💡 Explication : Une classe x̄ est inversible dans Z/nZ si et seulement si x est premier avec n (pgcd(x, n) = 1 d'après Bézout). Le nombre d'inversibles est donc par définition l'indicatrice d'Euler φ(n).
Q34
Algèbre Linéaire · Trace d'un Endomorphisme
Algèbre Linéaire · Espaces Vectoriels & Matrices
Soit A et B deux matrices carrées de même taille dans M_n(K). Quelle propriété fondamentale vérifie la trace du produit matriciel ?
لتكن A و B مصفوفتين مربعتين من نفس الرتبة. ما هي الخاصية الأساسية التي يحققها أثر الجداء المصفوفاتي (Trace)؟
✓ Bonne réponse (A) : Tr(A·B) = Tr(B·A)
💡 Explication : La trace est invariante par permutation circulaire : Tr(AB) = Tr(BA). En conséquence, deux matrices semblables ont la même trace, ce qui permet de définir la trace intrinsèque d'un endomorphisme.
Q35
Analyse · Règle de L'Hôpital
Analyse Réelle · Dérivation & Limites
Dans le calcul des limites de formes indéterminées « 0/0 » ou « ∞/∞ », quelle est la conclusion de la règle de L'Hôpital pour deux fonctions dérivables f et g au voisinage de a avec g'(x) ≠ 0 ?
في حساب نهايات الأشكال غير المحددة «0/0» أو «∞/∞»، ما هو استنتاج قاعدة لوبيتال (Règle de L'Hôpital) عند النقطة a؟
✓ Bonne réponse (A) : Si lim_{x→a} [f'(x) / g'(x)] = L (fini ou infini), alors lim_{x→a} [f(x) / g(x)] = L
💡 Explication : La règle de L'Hôpital, conséquence du théorème des accroissements finis généralisé de Cauchy, permet de lever les formes 0/0 ou ∞/∞ en calculant la limite du rapport des dérivées f'(x)/g'(x).
Q36
Probabilités · Loi Normale
Probabilités Continues · Concours Enseignement
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(μ, σ²). Quelle transformation permet d'obtenir la variable normale centrée réduite Z ~ N(0, 1) ?
لتكن X متغيراً عشوائياً يتبع قانوناً طبيعياً N(μ, σ²). ما هو التحويل الذي يمكن من الحصول على المتغير الطبيعي الممركز والمختزل Z ~ N(0, 1)؟
✓ Bonne réponse (A) : Z = (X - μ) / σ
💡 Explication : En soustrayant l'espérance μ (centrage) et en divisant par l'écart-type σ (réduction), on obtient une variable Z de moyenne nulle E(Z) = 0 et de variance unitaire V(Z) = 1, permettant la lecture des probabilités dans la table de Gauss.
Q37
Géométrie · Produit Mixte
Géométrie Vectorielle dans l'Espace · CRMEF
Dans l'espace euclidien R³, quelle est la signification géométrique de la valeur absolue du produit mixte [u, v, w] = (u ∧ v) · w de trois vecteurs ?
في الفضاء الإقليدي R³، ما هو المدلول الهندسي للقيمة المطلقة للجداء المختلط (Produit mixte) [u, v, w] = (u ∧ v) · w لثلاث متجهات؟
✓ Bonne réponse (A) : Le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs u, v et w
💡 Explication : Le déterminant det(u, v, w) = (u ∧ v) · w représente le volume orienté du parallélépipède engendré par la famille {u, v, w}. Sa valeur absolue est le volume euclidien.
Q38
Analyse · Complétude de R
Topologie Générale & Analyse Fondamentale
Que signifie la propriété selon laquelle « le corps des réels R est un espace métrique complet » ?
ماذا تعني الخاصية القائلة بأن «حقل الأعداد الحقيقية R هو فضاء متري كامل (Complet)»؟
✓ Bonne réponse (A) : Toute suite de Cauchy dans R est convergente dans R
💡 Explication : La complétude de R signifie qu'il n'a pas de « trous » métriques : toute suite vérifiant le critère intrinsèque de Cauchy (|x_p - x_q| < ε pour p, q grands) converge vers une limite appartenant à R (contrairement à Q).
Q39
Algèbre · Polynôme Minimal
Réduction des Endomorphismes · Licence & CPGE
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie. Quelle est la relation entre le polynôme minimal μ_u et le polynôme caractéristique χ_u de u ?
ليكن u تشاكلا داخليا لفضاء متجهي E بعده منته. ما هي العلاقة بين الحدودية الصغرى μ_u والحدودية المميزة χ_u لـ u؟
✓ Bonne réponse (A) : Le polynôme minimal μ_u divise le polynôme caractéristique χ_u, et ils ont exactement les mêmes racines (les valeurs propres de u)
💡 Explication : D'après Cayley-Hamilton, χ_u annule u, donc le polynôme minimal μ_u (générateur unitaire de l'idéal annulateur) divise χ_u. De plus, λ est valeur propre si et seulement si μ_u(λ) = 0.
Q40
Dénombrement & Combinatoire
Dénombrement & Analyse Combinatoire · 1ère Bac & CRMEF
Combien de parties à p éléments contient un ensemble fini de cardinal n (avec 0 ≤ p ≤ n) ?
كم عدد الأجزاء ذات p عنصراً التي تحتوي عليها مجموعة منتهية رئيسيها n (حيث 0 ≤ p ≤ n)؟
✓ Bonne réponse (A) : C_n^p = n! / [p! · (n - p)!]
💡 Explication : Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n, correspondant au nombre de sous-ensembles de cardinal p, est donné par le coefficient binomial C_n^p = (n choose p) = n! / [p!(n - p)!].
Q41
Spécialité Maths · Analyse (Limites et Équivalents)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de la limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-x^2/2}}{x^4}$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $-\frac{1}{12}$ (par développement limité à l'ordre 4 en $0$ : $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ et $e^{-x^2/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$, d'où $\frac{1}{24} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{12}$).
💡 Explication : En utilisant les développements limités usuels en $0$ : $\cos(x) - e^{-x^2/2} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{(-x^2/2)^2}{2!}\right) + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)$.
Q42
Spécialité Maths · Analyse (Séries numériques : Riemann & Bertrand)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Séries
Pour quelles valeurs du paramètre réel $\alpha$ la série de Bertrand $\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n (\ln n)^\alpha}$ est-elle convergente ?
✓ Bonne réponse (D) : Si et seulement si $\alpha > 1$ (par comparaison série-intégrale avec $\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t(\ln t)^\alpha}$).
💡 Explication : La série de Bertrand $\sum \frac{1}{n^a (\ln n)^b}$ converge si et seulement si ($a > 1$) ou ($a = 1$ et $b > 1$). Ici $a = 1$, donc $\alpha > 1$.
Q43
Spécialité Maths · Analyse (Somme de la série de Bâle)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Séries de Fourier / Analyse
Quelle est la valeur exacte des sommes classiques $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2)$.
💡 Explication : Le problème de Bâle (Euler) donne $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, et le développement de $\ln(1+x)$ en $x=1$ donne $\ln(2)$.
Q44
Spécialité Maths · Analyse (Intégrale de Gauss et Gamma)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Intégrales impropres
Quelle est la valeur de l'intégrale de Gauss $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$ et de $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $I = \sqrt{\pi}$ et $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$.
💡 Explication : Par passage en coordonnées polaires sur $I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \pi$, on obtient $I = \sqrt{\pi} = \Gamma(1/2)$.
Q45
Spécialité Maths · Algèbre linéaire (Théorème du rang & Projecteurs)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $\mathbb{R}$ et $p \in \mathcal{L}(E)$ un projecteur ($p \circ p = p$). Quelle propriété remarquable relie le rang de $p$ et la trace de $p$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $E = \ker(p) \oplus \text{Im}(p)$ et $\text{rg}(p) = \text{Tr}(p)$.
💡 Explication : Tout projecteur $p$ est diagonalisable de valeurs propres dans $\{0, 1\}$, et la multiplicité de la valeur propre $1$ est égale à $\dim(\text{Im}(p)) = \text{rg}(p) = \text{Tr}(p)$.
Q46
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -4y' + 3y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $y(x) = \lambda e^{1x} + \mu e^{3x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -4r + 3 = (r - 1)(r - 3) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 1$ et $r_2 = 3$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (1+3)r + 1\times 3 = 0$ a pour racines $r_1 = 1$ et $r_2 = 3$, d'où $y(x) = \lambda e^{1x} + \mu e^{3x}$.
Q47
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -6y' + 8y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $y(x) = \lambda e^{2x} + \mu e^{4x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -6r + 8 = (r - 2)(r - 4) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 2$ et $r_2 = 4$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (2+4)r + 2\times 4 = 0$ a pour racines $r_1 = 2$ et $r_2 = 4$, d'où $y(x) = \lambda e^{2x} + \mu e^{4x}$.
Q48
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -8y' + 15y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $y(x) = \lambda e^{3x} + \mu e^{5x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -8r + 15 = (r - 3)(r - 5) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 3$ et $r_2 = 5$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (3+5)r + 3\times 5 = 0$ a pour racines $r_1 = 3$ et $r_2 = 5$, d'où $y(x) = \lambda e^{3x} + \mu e^{5x}$.
Q49
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -10y' + 24y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $y(x) = \lambda e^{4x} + \mu e^{6x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -10r + 24 = (r - 4)(r - 6) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 4$ et $r_2 = 6$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (4+6)r + 4\times 6 = 0$ a pour racines $r_1 = 4$ et $r_2 = 6$, d'où $y(x) = \lambda e^{4x} + \mu e^{6x}$.
Q50
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -12y' + 35y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $y(x) = \lambda e^{5x} + \mu e^{7x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -12r + 35 = (r - 5)(r - 7) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 5$ et $r_2 = 7$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (5+7)r + 5\times 7 = 0$ a pour racines $r_1 = 5$ et $r_2 = 7$, d'où $y(x) = \lambda e^{5x} + \mu e^{7x}$.
Q51
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -14y' + 48y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $y(x) = \lambda e^{6x} + \mu e^{8x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -14r + 48 = (r - 6)(r - 8) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 6$ et $r_2 = 8$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (6+8)r + 6\times 8 = 0$ a pour racines $r_1 = 6$ et $r_2 = 8$, d'où $y(x) = \lambda e^{6x} + \mu e^{8x}$.
Q52
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -16y' + 63y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $y(x) = \lambda e^{7x} + \mu e^{9x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -16r + 63 = (r - 7)(r - 9) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 7$ et $r_2 = 9$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (7+9)r + 7\times 9 = 0$ a pour racines $r_1 = 7$ et $r_2 = 9$, d'où $y(x) = \lambda e^{7x} + \mu e^{9x}$.
Q53
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -18y' + 80y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $y(x) = \lambda e^{8x} + \mu e^{10x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -18r + 80 = (r - 8)(r - 10) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 8$ et $r_2 = 10$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (8+10)r + 8\times 10 = 0$ a pour racines $r_1 = 8$ et $r_2 = 10$, d'où $y(x) = \lambda e^{8x} + \mu e^{10x}$.
Q54
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -20y' + 99y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $y(x) = \lambda e^{9x} + \mu e^{11x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -20r + 99 = (r - 9)(r - 11) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 9$ et $r_2 = 11$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (9+11)r + 9\times 11 = 0$ a pour racines $r_1 = 9$ et $r_2 = 11$, d'où $y(x) = \lambda e^{9x} + \mu e^{11x}$.
Q55
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -22y' + 120y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $y(x) = \lambda e^{10x} + \mu e^{12x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -22r + 120 = (r - 10)(r - 12) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 10$ et $r_2 = 12$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (10+12)r + 10\times 12 = 0$ a pour racines $r_1 = 10$ et $r_2 = 12$, d'où $y(x) = \lambda e^{10x} + \mu e^{12x}$.
Q56
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -24y' + 143y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $y(x) = \lambda e^{11x} + \mu e^{13x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -24r + 143 = (r - 11)(r - 13) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 11$ et $r_2 = 13$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (11+13)r + 11\times 13 = 0$ a pour racines $r_1 = 11$ et $r_2 = 13$, d'où $y(x) = \lambda e^{11x} + \mu e^{13x}$.
Q57
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -26y' + 168y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $y(x) = \lambda e^{12x} + \mu e^{14x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -26r + 168 = (r - 12)(r - 14) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 12$ et $r_2 = 14$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (12+14)r + 12\times 14 = 0$ a pour racines $r_1 = 12$ et $r_2 = 14$, d'où $y(x) = \lambda e^{12x} + \mu e^{14x}$.
Q58
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -28y' + 195y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $y(x) = \lambda e^{13x} + \mu e^{15x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -28r + 195 = (r - 13)(r - 15) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 13$ et $r_2 = 15$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (13+15)r + 13\times 15 = 0$ a pour racines $r_1 = 13$ et $r_2 = 15$, d'où $y(x) = \lambda e^{13x} + \mu e^{15x}$.
Q59
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -30y' + 224y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $y(x) = \lambda e^{14x} + \mu e^{16x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -30r + 224 = (r - 14)(r - 16) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 14$ et $r_2 = 16$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (14+16)r + 14\times 16 = 0$ a pour racines $r_1 = 14$ et $r_2 = 16$, d'où $y(x) = \lambda e^{14x} + \mu e^{16x}$.
Q60
Spécialité Maths · Équations différentielles du second ordre
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire homogène : $y'' -32y' + 255y = 0$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $y(x) = \lambda e^{15x} + \mu e^{17x}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ (car l'équation caractéristique $r^2 -32r + 255 = (r - 15)(r - 17) = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = 15$ et $r_2 = 17$).
💡 Explication : Le polynôme caractéristique $r^2 - (15+17)r + 15\times 17 = 0$ a pour racines $r_1 = 15$ et $r_2 = 17$, d'où $y(x) = \lambda e^{15x} + \mu e^{17x}$.
Q61
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $P_A(X) = X^2 - 7X + 6 = (X - 1)(X - 6)$, et $\text{Sp}(A) = \{1, 6\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 2 + 5 = 7$ et $\det(A) = 2\times 5 - 4 = 6$. Or 1 + 6 = 7$ et 1 \times 6 = 6$, donc $\text{Sp}(A) = \{1, 6\}$.
Q62
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $P_A(X) = X^2 - 9X + 14 = (X - 2)(X - 7)$, et $\text{Sp}(A) = \{2, 7\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 3 + 6 = 9$ et $\det(A) = 3\times 6 - 4 = 14$. Or 2 + 7 = 9$ et 2 \times 7 = 14$, donc $\text{Sp}(A) = \{2, 7\}$.
Q63
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $P_A(X) = X^2 - 11X + 24 = (X - 3)(X - 8)$, et $\text{Sp}(A) = \{3, 8\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 4 + 7 = 11$ et $\det(A) = 4\times 7 - 4 = 24$. Or 3 + 8 = 11$ et 3 \times 8 = 24$, donc $\text{Sp}(A) = \{3, 8\}$.
Q64
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $P_A(X) = X^2 - 13X + 36 = (X - 4)(X - 9)$, et $\text{Sp}(A) = \{4, 9\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 5 + 8 = 13$ et $\det(A) = 5\times 8 - 4 = 36$. Or 4 + 9 = 13$ et 4 \times 9 = 36$, donc $\text{Sp}(A) = \{4, 9\}$.
Q65
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $P_A(X) = X^2 - 15X + 50 = (X - 5)(X - 10)$, et $\text{Sp}(A) = \{5, 10\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 6 + 9 = 15$ et $\det(A) = 6\times 9 - 4 = 50$. Or 5 + 10 = 15$ et 5 \times 10 = 50$, donc $\text{Sp}(A) = \{5, 10\}$.
Q66
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $P_A(X) = X^2 - 17X + 66 = (X - 6)(X - 11)$, et $\text{Sp}(A) = \{6, 11\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 7 + 10 = 17$ et $\det(A) = 7\times 10 - 4 = 66$. Or 6 + 11 = 17$ et 6 \times 11 = 66$, donc $\text{Sp}(A) = \{6, 11\}$.
Q67
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $P_A(X) = X^2 - 19X + 84 = (X - 7)(X - 12)$, et $\text{Sp}(A) = \{7, 12\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 8 + 11 = 19$ et $\det(A) = 8\times 11 - 4 = 84$. Or 7 + 12 = 19$ et 7 \times 12 = 84$, donc $\text{Sp}(A) = \{7, 12\}$.
Q68
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 12 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $P_A(X) = X^2 - 21X + 104 = (X - 8)(X - 13)$, et $\text{Sp}(A) = \{8, 13\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 9 + 12 = 21$ et $\det(A) = 9\times 12 - 4 = 104$. Or 8 + 13 = 21$ et 8 \times 13 = 104$, donc $\text{Sp}(A) = \{8, 13\}$.
Q69
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 2 & 13 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $P_A(X) = X^2 - 23X + 126 = (X - 9)(X - 14)$, et $\text{Sp}(A) = \{9, 14\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 10 + 13 = 23$ et $\det(A) = 10\times 13 - 4 = 126$. Or 9 + 14 = 23$ et 9 \times 14 = 126$, donc $\text{Sp}(A) = \{9, 14\}$.
Q70
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 2 & 14 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $P_A(X) = X^2 - 25X + 150 = (X - 10)(X - 15)$, et $\text{Sp}(A) = \{10, 15\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 11 + 14 = 25$ et $\det(A) = 11\times 14 - 4 = 150$. Or 10 + 15 = 25$ et 10 \times 15 = 150$, donc $\text{Sp}(A) = \{10, 15\}$.
Q71
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 12 & 2 \\ 2 & 15 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $P_A(X) = X^2 - 27X + 176 = (X - 11)(X - 16)$, et $\text{Sp}(A) = \{11, 16\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 12 + 15 = 27$ et $\det(A) = 12\times 15 - 4 = 176$. Or 11 + 16 = 27$ et 11 \times 16 = 176$, donc $\text{Sp}(A) = \{11, 16\}$.
Q72
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 13 & 2 \\ 2 & 16 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $P_A(X) = X^2 - 29X + 204 = (X - 12)(X - 17)$, et $\text{Sp}(A) = \{12, 17\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 13 + 16 = 29$ et $\det(A) = 13\times 16 - 4 = 204$. Or 12 + 17 = 29$ et 12 \times 17 = 204$, donc $\text{Sp}(A) = \{12, 17\}$.
Q73
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 17 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $P_A(X) = X^2 - 31X + 234 = (X - 13)(X - 18)$, et $\text{Sp}(A) = \{13, 18\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 14 + 17 = 31$ et $\det(A) = 14\times 17 - 4 = 234$. Or 13 + 18 = 31$ et 13 \times 18 = 234$, donc $\text{Sp}(A) = \{13, 18\}$.
Q74
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 15 & 2 \\ 2 & 18 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $P_A(X) = X^2 - 33X + 266 = (X - 14)(X - 19)$, et $\text{Sp}(A) = \{14, 19\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 15 + 18 = 33$ et $\det(A) = 15\times 18 - 4 = 266$. Or 14 + 19 = 33$ et 14 \times 19 = 266$, donc $\text{Sp}(A) = \{14, 19\}$.
Q75
Spécialité Maths · Réduction des endomorphismes & Matrices
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre linéaire
Soit la matrice symétrique réelle $A = \begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 2 & 19 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Quels sont son polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_2 - A)$ et son spectre $\text{Sp}(A)$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $P_A(X) = X^2 - 35X + 300 = (X - 15)(X - 20)$, et $\text{Sp}(A) = \{15, 20\}$ (diagonalisable en base orthonormée d'après le théorème spectral).
💡 Explication : $\text{Tr}(A) = 16 + 19 = 35$ et $\det(A) = 16\times 19 - 4 = 300$. Or 15 + 20 = 35$ et 15 \times 20 = 300$, donc $\text{Sp}(A) = \{15, 20\}$.
Q76
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{2} = \int_0^1 x e^{2x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $I_{2} = \frac{1e^{2} + 1}{4}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{2x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{2} = \left[\frac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1e^{2} + 1}{4}$.
Q77
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{3} = \int_0^1 x e^{3x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $I_{3} = \frac{2e^{3} + 1}{9}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{3x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{3} = \left[\frac{x}{3}e^{3x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{2e^{3} + 1}{9}$.
Q78
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{4} = \int_0^1 x e^{4x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $I_{4} = \frac{3e^{4} + 1}{16}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{4x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{4} = \left[\frac{x}{4}e^{4x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{4}e^{4x}\,dx = \frac{3e^{4} + 1}{16}$.
Q79
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{5} = \int_0^1 x e^{5x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $I_{5} = \frac{4e^{5} + 1}{25}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{5x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{5} = \left[\frac{x}{5}e^{5x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{5}e^{5x}\,dx = \frac{4e^{5} + 1}{25}$.
Q80
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{6} = \int_0^1 x e^{6x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $I_{6} = \frac{5e^{6} + 1}{36}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{6x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{6} = \left[\frac{x}{6}e^{6x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{6}e^{6x}\,dx = \frac{5e^{6} + 1}{36}$.
Q81
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{7} = \int_0^1 x e^{7x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $I_{7} = \frac{6e^{7} + 1}{49}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{7x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{7} = \left[\frac{x}{7}e^{7x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{7}e^{7x}\,dx = \frac{6e^{7} + 1}{49}$.
Q82
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{8} = \int_0^1 x e^{8x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $I_{8} = \frac{7e^{8} + 1}{64}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{8x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{8} = \left[\frac{x}{8}e^{8x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{8}e^{8x}\,dx = \frac{7e^{8} + 1}{64}$.
Q83
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{9} = \int_0^1 x e^{9x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $I_{9} = \frac{8e^{9} + 1}{81}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{9x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{9} = \left[\frac{x}{9}e^{9x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{9}e^{9x}\,dx = \frac{8e^{9} + 1}{81}$.
Q84
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{10} = \int_0^1 x e^{10x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $I_{10} = \frac{9e^{10} + 1}{100}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{10x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{10} = \left[\frac{x}{10}e^{10x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{10}e^{10x}\,dx = \frac{9e^{10} + 1}{100}$.
Q85
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{11} = \int_0^1 x e^{11x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $I_{11} = \frac{10e^{11} + 1}{121}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{11x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{11} = \left[\frac{x}{11}e^{11x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{11}e^{11x}\,dx = \frac{10e^{11} + 1}{121}$.
Q86
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{12} = \int_0^1 x e^{12x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $I_{12} = \frac{11e^{12} + 1}{144}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{12x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{12} = \left[\frac{x}{12}e^{12x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{12}e^{12x}\,dx = \frac{11e^{12} + 1}{144}$.
Q87
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{13} = \int_0^1 x e^{13x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (C) : $I_{13} = \frac{12e^{13} + 1}{169}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{13x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{13} = \left[\frac{x}{13}e^{13x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{13}e^{13x}\,dx = \frac{12e^{13} + 1}{169}$.
Q88
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{14} = \int_0^1 x e^{14x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (B) : $I_{14} = \frac{13e^{14} + 1}{196}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{14x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{14} = \left[\frac{x}{14}e^{14x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{14}e^{14x}\,dx = \frac{13e^{14} + 1}{196}$.
Q89
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{15} = \int_0^1 x e^{15x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (A) : $I_{15} = \frac{14e^{15} + 1}{225}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{15x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{15} = \left[\frac{x}{15}e^{15x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{15}e^{15x}\,dx = \frac{14e^{15} + 1}{225}$.
Q90
Spécialité Maths · Calcul intégral (Intégration par parties)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Analyse
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale définie $I_{16} = \int_0^1 x e^{16x}\,dx$ ?
✓ Bonne réponse (D) : $I_{16} = \frac{15e^{16} + 1}{256}$ (par intégration par parties en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{16x}$).
💡 Explication : Par intégration par parties : $I_{16} = \left[\frac{x}{16}e^{16x}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{16}e^{16x}\,dx = \frac{15e^{16} + 1}{256}$.
Q91
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(12)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (C) : $\varphi(12) = 4$ (car $12 = 2^2 \times 3$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 12\}$ premiers avec $12$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 12) = 1$. Comme $12 = 2^2 \times 3$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(12) = 4$.
Q92
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(15)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (B) : $\varphi(15) = 8$ (car $15 = 3 \times 5$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 15\}$ premiers avec $15$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 15) = 1$. Comme $15 = 3 \times 5$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(15) = 8$.
Q93
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(18)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (A) : $\varphi(18) = 6$ (car $18 = 2 \times 3^2$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 18\}$ premiers avec $18$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 18) = 1$. Comme $18 = 2 \times 3^2$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(18) = 6$.
Q94
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(20)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (D) : $\varphi(20) = 8$ (car $20 = 2^2 \times 5$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 20\}$ premiers avec $20$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 20) = 1$. Comme $20 = 2^2 \times 5$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(20) = 8$.
Q95
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(21)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (C) : $\varphi(21) = 12$ (car $21 = 3 \times 7$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 21\}$ premiers avec $21$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 21) = 1$. Comme $21 = 3 \times 7$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(21) = 12$.
Q96
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(24)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (B) : $\varphi(24) = 8$ (car $24 = 2^3 \times 3$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 24\}$ premiers avec $24$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 24) = 1$. Comme $24 = 2^3 \times 3$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(24) = 8$.
Q97
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(25)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (A) : $\varphi(25) = 20$ (car $25 = 5^2$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 25\}$ premiers avec $25$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 25) = 1$. Comme $25 = 5^2$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(25) = 20$.
Q98
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(28)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (D) : $\varphi(28) = 12$ (car $28 = 2^2 \times 7$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 28\}$ premiers avec $28$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 28) = 1$. Comme $28 = 2^2 \times 7$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(28) = 12$.
Q99
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(30)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (C) : $\varphi(30) = 8$ (car $30 = 2 \times 3 \times 5$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 30\}$ premiers avec $30$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 30) = 1$. Comme $30 = 2 \times 3 \times 5$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(30) = 8$.
Q100
Spécialité Maths · Structures algébriques (Anneau $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ et Groupe des inversibles)
Descriptif CRMEF Spécialité Mathématiques · Algèbre & Arithmétique
Dans l'anneau commutatif unitaire $(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}, +, \times)$, quel est le cardinal $\varphi(36)$ du groupe multiplicatif des éléments inversibles $(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z})^\times$ (qui est aussi le nombre de générateurs du groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$) ?
✓ Bonne réponse (B) : $\varphi(36) = 12$ (car $36 = 2^2 \times 3^2$, et l'indicatrice d'Euler donne le nombre d'entiers de $\{1, \dots, 36\}$ premiers avec $36$).
💡 Explication : Un élément $\overline{k} \in \mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ est inversible pour la multiplication si et seulement si $\text{pgcd}(k, 36) = 1$. Comme $36 = 2^2 \times 3^2$, l'indicatrice d'Euler vaut $\varphi(36) = 12$.
